從 Goddard QuarterCar 到 FSAE Traction Control 模型

從 Goddard QuarterCar 到 FSAE Traction Control 模型

撰寫人: 范紹捷/動力組/5~9代 基於TTR9開發

目標：

• 以 Phil Goddard 的 Slip Control of a Quarter Car Model 為基礎，改成符合 FSAE 後驅電動車的牽引力控制（TC）實驗環境。 Goddard QuarterCar 模型介紹網頁、模型下載 Academia.edu - 詳細說明
• 在 Simulink 上：
  • 先驗證 QuarterCar plant 是否物理正確
  • 再以 PI 控制滑移率 λ，限制輪上扭矩

1. 車輛與驅動配置

1.1 FSAE 車輛條件

• 總重：$m_{total} = 300 ,\text{kg}$
• 前後配重（估）：前 45%、後 55%
  • 單後輪垂直力 $$F_{z,\text{rear,single}} \approx \frac{m_{total} g \cdot 0.55}{2} \approx 809 ,\text{N}$$
• 單馬達後驅，馬達接小齒輪、後輪大齒輪，總傳動比：$i = 4.02$

1.2 馬達與輪上扭矩

• 馬達峰值扭矩：$T_{motor,max} = 220,\text{Nm}$
• 後軸總輪上扭矩： $$T_{wheel,total} = T_{motor} \cdot i \approx 220 \times 4.02 \approx 884.4 ,\text{Nm}$$
• 後驅兩輪分配 → 單後輪扭矩（QuarterCar 模型使用）： $$T_{wheel,single} \approx \frac{884.4}{2} \approx 442.2,\text{Nm}$$

在 Simulink 中，對 QuarterCar 單輪模型：

T_driver = 442.2;  % Nm, 單後輪全油門扭矩

2. 輪胎與半徑設定

2.1 輪胎尺寸與半徑

• 輪胎：Goodyear D2773（FSAE 常用 20x7-13 slick）
• 名目直徑：13 吋輪圈，滾動半徑近似： $$R_{wheel} \approx \frac{13}{2},\text{in} \times 0.0254 \approx 0.165,\text{m}$$

參數設定（QuarterCarParams.m 或 tc_params.h）：

R_REAR  = 0.165;   % m
R_FRONT = 0.165;   % m

3. 從 ABS 模型轉成 TC 模型

Goddard 原始模型是 ABS（煞車控制）：踏煞 → 調整煞車扭矩 Tb，維持 λ 在 0.2 左右。
這裡要改成 TC（驅動控制）：加速 → 限制驅動扭矩 $T_{driver}$，讓 λ 維持在最佳打滑附近。

3.1 Slip 定義與符號

ABS 常用定義（煞車）：

$$\lambda_{ABS} = \frac{v - R \omega}{v}$$

TC 驅動時採用：

$$\lambda_{TC} = \frac{R \omega - v}{v}$$

在 Goddard 模型的 Slip Calculation block 中，確認 / 修改為：

lambda = (R * angVel - vel) / max(vel, 0.1);

若只想先看打滑量不管正負，可額外加 Abs，但正式 TC 建議保留正負號，方便判斷「超驅 / 欠驅」。

3.2 動力學方程符號

ABS → 減速；TC → 加速。需修改：

• 輪方程：

  • ABS（原）：$J \dot{\omega} = -T_b - R F_x$
  • TC（目標）： $$J \dot{\omega} = T_{driver} - R F_x$$

• 車身方程：

  • ABS（原）：$m \dot{v} = -F_x$
  • TC（目標）： $$m \dot{v} = F_x$$

在 QuarterCar 子系統中的對應：

• 驅動輪 Sum → 連到 1/J 的積分器：輸入為 +T_driver 和 - R*Fx。
• 車身 Sum → 連到 1/m 的積分器：輸入為 +Fx （而非 -Fx）。

這樣就可以讓模型由 「煞車減速」 改為 「驅動加速」。

4. 輪胎模型與 Goodyear D2773 近似

Goddard 使用類 Pacejka 模型：

$$\mu_x = c \cdot \sin\bigl(b \cdot \arctan(a \lambda)\bigr)$$

QuarterCarParams.m 中原始參數：

roadCoeffs = [1.28 23.99 0.52]; % [a, b, c], 乾地 μ_peak ≈ 0.52

此組參數的 Fx 峰值出現在 λ≈0.05 附近。

4.1 直接沿用（簡單版）

若先不追求完全對應 D2773，直接沿用：

roadCoeffs = [1.28, 23.99, 0.52];
lambda_base = 0.05;  % 目標滑移率

• λ_peak 約 0.05
• 建議 DesiredSlip 的 Final value 也設在 0.05～0.08 之間

4.2 近似 FSAE Goodyear（進階）

參考 FSAE 文獻與 μ 值，可略調高峰值：$\mu_{peak} \approx 0.55$

% FSAE Goodyear 乾地近似
roadCoeffs = [1.67, 22.0, 0.55];   % [a, b, mu_peak]
lambda_base = 0.05;                % 峰值附近

最準確作法：用實車量測的 ax、輪速與車速 log，計算 Fx–λ 曲線，透過 lsqcurvefit 或 Curve Fitting Tool 擬合 Pacejka 係數。

5. 扭矩、車速顯示與基礎驗證

5.1 單輪驅動扭矩

依前述計算，單後輪峰值扭矩約 442.2 Nm：

T_driver = 440;  % QuarterCar 單後輪輸入扭矩

測試時可先使用 Constant block，或 Step block 0→450 Nm 模擬全油門起步。

5.2 車速 km/h 顯示

QuarterCar 輸出的 vel 單位是 m/s，可加一個 Gain 3.6 轉成 km/h：

vel (m/s) ── Gain(3.6) ──> v_kmh

接到 Scope 或 Display，方便閱讀 0–50 / 0–100 km/h 表現。

5.3 Plant 驗證步驟（無控制）

1. T_driver = 440 Nm Constant，DesiredSlip 不用（或 Final=0）。
2. Scope 觀察：v (km/h)、omega、lambda、Fx。
3. 確認：
   • v 隨時間單調上升。
   • R*omega > v → λ 為正，表示有打滑。
   • λ 峰值約在 0.05～0.1（取決於路面係數），Fx 對應峰值（輪胎最大抓地力）。

6. PI Traction Control 結構

6.1 閉環架構

在 Goddard 的控制器層級上，改成下列 TC 架構：

DesiredSlip (Step, 0 → lambda_base)
         |
         v
      [ + ] <──── slip (λ)
         |
         v
      PI(s)
         |
         v
TorqueLimit = min( PI_out, T_demand )
         |
         v
    MotorActuator / QuarterCar (T_driver = TorqueLimit)

• DesiredSlip：Step block，Initial=0，Final=lambda_base（例如 0.05），Sample time=0.005。
• PI(s)：離散 PI；Sample time=0.005 s。
• T_demand：駕駛扭矩需求，例如 Step 0→450 Nm。
• TorqueLimit：MinMax block，Mode=min，輸入 [PI_out, T_demand]。
  • 表示：$T_{driver} = \min(T_{demand}, T_{PI})$，即控制器只會「減扭」，不會要求超過駕駛需求。

6.2 PI 參數建議

根據 QuarterCar 估算與 FSAE 經驗，可用以下範圍作起點：

Kp = 800;
Ki = 8000;
lambda_base = 0.05;  % 乾地 Goodyear 峰值附近
Ts = 0.005;          % 5 ms 控制週期

調參方向：

• λ 超調很大（例如先衝到 0.15 再回 0.05） → Kp 降低（800 → 500）。
• λ 收斂太慢（>1 s 才貼近 0.05） → Kp 提高（800 → 1200–1500）。
• λ 有穩態誤差（例如停在 0.07） → Ki 提高（8000 → 20000）。
• λ 出現明顯振盪 → Ki 降低（8000 → 2000–4000）。

7. 實車數據收集與模擬參數修正流程

目標：利用實車的 CAN-logger 與量測訊號，把 Simulink 模型中的輪胎/車輛參數 （尤其 roadCoeffs、質量分佈、實際半徑）調整到貼近真實 FSAE 車。

7.1 實車量測需求

建議至少量到下列訊號（你現有硬體已足夠）：

• 四輪輪速：$\omega_{FL}$ , $\omega_{FR}$, $\omega_{RL}$, $\omega_{RR}$
• IMU：縱向加速度 $a_x$、橫向加速度 $a_y$、偏航率 $r$
• 馬達：轉速 $\omega_m$、實際扭矩指令 / 回授 $T_{motor}$
• 其它：油門開度、模式切換狀態等（方便之後分析）

所有訊號以 CAN logger 記錄成時間序列檔（例如 CSV / MDF）。

7.2 建議實驗型態

1. 直線全油門起步（乾地）

   • 場地：平坦乾柏油。
   • 操作：檔位固定、TC 關閉，從靜止全油門加速到約 50–60 km/h。
   • 目的：取得高 μ 乾路下的 $\lambda–a_x$ 關係與最大加速度。

2. 中低扭矩掃描（低打滑）

   • 多次 run，用 20%、40%、60% 油門限制。
   • 目的：在低打滑區（λ<0.05）估計「線性區」的剛度，以修正 Pacejka 的 a、b 係數。

3. 低 μ 路面（如濕地 / 噴水）

   • 同樣的全油門起步，在明顯較滑的路段。
   • 目的：取得另一組 $\lambda–a_x$ 曲線，用來驗證 μ 估測與多路面設定。

7.3 從實車資料計算 λ 與 Fx

離線分析（MATLAB）：

1. 由前輪輪速估車速（假設前輪未打滑）：

v_est = 0.5 * (omega_fl + omega_fr) * R_FRONT;  % m/s

2. 計算後輪滑移率 λ：

lambda_rl = (omega_rl * R_REAR - v_est) ./ max(v_est, 0.1);
lambda_rr = (omega_rr * R_REAR - v_est) ./ max(v_est, 0.1);
lambda_avg = 0.5 * (lambda_rl + lambda_rr);

3. 以 IMU 縱向加速度估計總縱向力：

Fx_total = m_total * ax_imu;   % N
Fx_single = Fx_total / 2;      % 假設主要由兩後輪提供

得到一組實車資料點 $(\lambda_{avg}, F_{x,single})$。

7.4 擬合 Pacejka 係數

使用非線性最小平方法（lsqcurvefit）擬合 roadCoeffs = [a, b, c]：

lambda_data = lambda_avg(:);
Fx_data      = Fx_single(:);
Fz_single    = m_total * 9.81 * 0.55 / 2;

pacejka_fx = @(p, lam) Fz_single .* (p(3) .* sin(p(2) .* atan(p(1) .* lam)));

p0 = [1.3, 24, 0.55];  % 初始猜測 [a, b, mu_peak]
opts = optimoptions('lsqcurvefit', 'Display', 'iter');
[p_fit, ~] = lsqcurvefit(pacejka_fx, p0, lambda_data, Fx_data, [], [], opts);

a_fit = p_fit(1);
b_fit = p_fit(2);
mu_fit = p_fit(3);

roadCoeffs_new = [a_fit, b_fit, mu_fit];

將 roadCoeffs_new 帶回 Simulink 之後，再重跑 QuarterCar 模型，Comparing：

• 實車 vs 模擬的 lambda(t)、v(t)、ax(t) 曲線。
• 若誤差仍大，可根據特定區間再調整 a / b（斜率）與 c（峰值 μ）。

7.5 根據實車檢查 Kp / Ki

在更新後的輪胎模型下：

1. 用 Simulink 模型跑與實車相同的油門 / 路面情境（T_demand, lambda_base 同步）。
2. 比較：
   • 模擬 λ 是否與實車趨勢相近（尤其峰值與收斂時間）。
   • 若模擬反應太快 → Kp/Ki 太大；反之太慢 → Kp/Ki 太小。
3. 以「實車 λ 波形」為 benchmark，把 PI 參數調到模擬與實車時間響應接近，再將這組 Kp/Ki 寫回 STM32 Firmware。

8. 關鍵參數總表（FSAE 設定）

這份筆記對應的 Simulink 模型改動完成後，就可以直接拿來：

• 在桌上跑 QuarterCar + PI/TC 算法調參
• 以實車數據反推輪胎模型，持續修正 roadCoeffs
• 把同一套 PI/TC 參數下放到 STM32 上，做實車迴圈驗證